Rêwîtiya nav cîhana nerast a matematîkê

Min ev gotar li yek ji hawîrdoran, piştî ders û pratîkê li zanîngehek zanistiya komputerê nivîsî. Ez xwe li hember rexnekirina xwendekarên vê dibistanê, zanîna wan, helwesta wan a li hember zanistê û ya herî girîng jî jêhatîbûna wan a mamostetiyê diparêzim. Ev... kes wan fêr nake.

Çima ez ewqas berevan im? Ji ber sedemek hêsan - ez di temenek de me ku, belkî, cîhana li dora me hîn nehatiye fêm kirin. Dibê ez hînî wan bikim ku hespan rakin û nehêlin, û ne ajotina erebeyê? Dibe ku ez wan fêrî nivîsandina bi qelemê bikim? Her çend nêrînek min li ser kesek çêtir hebe jî, ez xwe "şopdar" dibînim, lê…

Heya vê dawiyê, di lîseyê de, wan behsa hejmarên tevlihev dikirin. Û ev roja Çarşemê bû ku ez hatim malê, dev jê berda - hema hema yek ji xwendekaran hîn hîn nebûye ew çi ye û meriv van hejmaran çawa bikar tîne. Hinek li hemû matematîkê wek qazê li ber deriyekî boyaxkirî dinêrin. Lê gava ku wan ji min re got ku ez çawa fêr bibim, ez bi rastî jî şaş bûm. Bi tenê, her saetek dersekê du demjimêr karê malê ye: xwendina pirtûkek dersê, fêrbûna çareserkirina pirsgirêkên li ser mijarek diyarkirî, hwd. Piştî ku em bi vî rengî amade bûn, em têne ser temrînan, ku em her tiştî çêtir dikin ... Bi kêfxweşî, xwendekar, xuya ye, fikirîn ku rûniştina li ser dersê - bi gelemperî li pencereyê dinêre - jixwe ketina zanînê di serî de garantî dike.

Rawestan! Êdî bes e. Ez ê bersiva xwe ya pirseke ku min di dema dersa bi hevalên ji Fona Zarokan a Neteweyî, saziyek ku piştgirî dide zarokên jêhatî yên ji çar aliyên welêt, wergirt, vebêjim. Pirs (an bêtir pêşniyar) ev bû:

- Hûn dikarin li ser hejmarên nerast tiştek ji me re bibêjin?

"Bê guman," min bersiv da. 

Rastiya hejmaran

Pythagoras got: "Heval ezê din e, hevaltî rêjeya hejmarên 220 û 284an e." Di vir de mebest ev e ku berhevoka dabeşkerên hejmara 220 284, û berhevoka dabeşkerên hejmara 284 220 e.

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Tesadûfeke din a balkêş a di navbera hejmarên 220 û 284an de ev e: hivdeh jimareyên herî pêşîn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, û 59.

Berhevoka wan 2x220, û berhevoka çargoşeyan 59x284 e.

Yekem. Têgîna "hejmara rastîn" tune ye. Mîna ku piştî xwendina gotarek li ser fîlan, hûn bipirsin: "Niha em ê ji fîlan re nexwazin." Tevahî û ne-tewahî, maqûl û bêaqil hene, lê ne rast in. Bi taybetî: jimareyên ku ne rast in, nederbasdar nayên gotin. Di matematîkê de gelek celeb "hejmar" hene û ew ji hev cuda ne, mîna - fîl û kurmê erdê - bi berhevdana zoologî re.

Ya duyemîn, em ê operasyonên ku hûn jixwe dizanin qedexe ne bikin: derxistina kokên çargoşe yên hejmarên neyînî. Welê, matematîk dê astengiyên weha derbas bike. Ma ew têgihîştî ye? Di matematîkê de, wekî di her zanistek din de, gelo teoriyek her û her têkeve depoya zanînê, bi sepana wê ve girêdayî ye. Heger bêkêr be, wê demê di çopê de diqede, paşê di hin gemarên dîroka zanînê de. Bêyî hejmarên ku ez di dawiya vê gotarê de behsa wan dikim, ne gengaz e ku meriv matematîkê pêş bixe. Lê em bi hin tiştên piçûk dest pê bikin. Hejmarên rastîn çi ne, hûn dizanin. Ew rêza hejmarê bi qelsî û bê valahî tijî dikin. Hûn jî dizanin ku hejmarên xwezayî çi ne: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ……….. - hemî ew ê di nav de nebin. bîranîna herî mezin jî. Navekî wan ê xweş jî heye: xwezayî. Ew gelek taybetmendiyên balkêş hene. Hûn ji vê yekê çawa hez dikin:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² 15 +² 42 +² 98 +² 123 +² 179 +² 206 +² 220 +² = 3² 11 +² 46 +² 92 +² 129 +² 175 +² 210 +² 218 +²

1³ 15 +³ 42 +³ 98 +³ 123 +³ 179 +³ 206 +³ 220 +³ = 3³ 11 +³ 46 +³ 92 +³ 129 +³ 175 +³ 210 +³ 218 +³

1⁴ 15 +⁴ 42 +⁴ 98 +⁴ 123 +⁴ 179 +⁴ 206 +⁴ 220 +⁴ = 3⁴ 11 +⁴ 46 +⁴ 92 +⁴ 129 +⁴ 175 +⁴ 210 +⁴ 218 +⁴

1⁵ 15 +⁵ 42 +⁵ 98 +⁵ 123 +⁵ 179 +⁵ 206 +⁵ 220 +⁵ = 3⁵ 11 +⁵ 46 +⁵ 92 +⁵ 129 +⁵ 175 +⁵ 210 +⁵ 218 +⁵

1⁶ 15 +⁶ 42 +⁶ 98 +³ 123 +⁶ 179 +⁶ 206 +⁶ 220 +⁶ = 3⁶ 11 +⁶ 46 +⁶ 92 +⁶ 129 +⁶ 175 +⁶ 210 +⁶ 218 +⁶

1⁷ 15 +⁷ 42 +⁷ 98 +³ 123 +⁷ 179 +⁷ 206 +⁷ 220 +⁷ = 3⁷ 11 +⁷ 46 +⁷ 92 +⁷ 129 +⁷ 175 +⁷ 210 +⁷ 218 +⁷

Karl Lindenholm got: "Tiştê xwezayî ye ku meriv bi jimareyên xwezayî re eleqedar bibe," got Karl Lindenholm, û Leopold Kronecker (1823-1891) bi kurtî weha got: "Xwedê jimareyên xwezayî afirandin - her tiştê din karê mirovan e!" Parçeyan (ji hêla matematîkzanan ve jimareyên rasyonel jê re dibêjin) taybetmendiyên ecêb jî hene:

û di wekheviyê de:

hûn dikarin, ji milê çepê dest pê bikin, pluss bişon û wan bi nîşanên pirjimariyê biguhezînin - û wekhevî dê rast bimîne:

Û vî awayî.

Wek ku hûn jî dizanin, ji bo perçeyên a/b, ku a û b jimar in û b ≠ 0, ew dibêjin. hejmara rasyonel. Lê tenê bi polonî ew ji xwe re wisa dibêjin. Ew bi îngilîzî, fransî, almanî û rûsî diaxivin. hejmara rasyonel. Bi kurmancî: jimarên rasyonel. Hejmarên irasyonel bêaqil e, bêaqil e. Em di heman demê de polonî li ser teorî, raman û kirinên bêaqil diaxivin - ev dînbûn e, xeyalî ye, nayê ravekirin. Dibêjin jin ji mişkan ditirsin - ma ne ewqas bêaqil e?

Di demên kevnar de, jimare ruhek hebû. Her yek wateya tiştekî, her yek tiştekî sembolîze dikir, her yek pariyek ji wê ahenga Gerdûnê, ango bi Yewnanî, Kozmosê nîşan da. Bi rastî peyva "cosmos" tê wateya "ferman, rêz". Ya herî girîng şeş (hejmara kamil) û deh, kombûna jimareyên li pey hev 1+2+3+4, ji jimarên din pêk dihatin, ku sembolîzma wan heta îro maye. Ji ber vê yekê Pythagoras hîn kir ku hejmar destpêk û çavkaniya her tiştî ne, û tenê vedîtin hejmarên irasyonel tevgera Pythagorean ber bi geometriyê ve zivirî. Em vê sedemê ji dibistanê dizanin

√2 jimareke nerazî ye

Ji ber ku em difikirin ku heye: û ku ev perçe nayê kêm kirin. Bi taybetî, hem p û hem jî q xerîb in. Ka em çargoşe bikin: 2q²=p². Jimara p nikare cewher be, ji hingê ve p² jî dê bibe, û aliyê çepê yê wekheviyê pirjimara 2 ye. Ji ber vê yekê, p heta ye, ango, p = 2r, ji ber vê yekê p²= 4r². Em hevkêşana 2q kêm dikin²= 4r² bi 2. Em q²= 2r² û em dibînin ku divê q jî hetta be, ya ku me texmîn kir ne wusa ye. Nakokiya di encamê de îsbatê temam dike - ev formula bi gelemperî di her pirtûkek matematîkî de tê dîtin. Ev delîlên derdor hîleyek bijarte ya sofîstan e.

Ev mezinahî ji hêla Pythagorean ve nehat fêm kirin. Pêdivî ye ku her tişt bi jimareyan were vegotin, û diagonalê çargoşeya ku her kes dikare bi darekê li ser qûmê xêz bike, dirêjî tune, ango pîvanbar e. Pythagorean xuya dike ku "baweriya me pûç bû." Çawa wisa? Ew cûreyek ... bêaqil e. Yekîtî hewl da xwe bi rêbazên mezhebî rizgar bike. Her kesê ku diwêre hebûna xwe eşkere bike hejmarên irasyonel, diviyabû bi îdamê bihata sizadan, û, xuya ye, hevoka yekem ji hêla axayê xwe ve hate bicîh kirin.

Lê "fikir bêkêmasî derbas bû." Serdema zêrîn hat. Yewnanan Persan têk bir (Maratona 490, Block 479). Demokrasî xurt bû, navendên nû yên ramana felsefî û dibistanên nû derketin holê. Pythagoreans hîna jî bi hejmarên bêaqil re têkoşîn dikirin. Hinekan dan zanîn: em ê vê sirê fam nekin; em tenê dikarin li Uncharted bifikirin û matmayî bimînin. Yên paşîn pragmatîktir bûn û rêz ji Sirê re negirtin. Di wê demê de, du avahiyên derûnî xuya bûn ku îmkana têgihîştina hejmarên nerazî dikirin. Rastiya ku em îro bi têra xwe baş ji wan fam dikin aîdî Eudoxus e (sedsala XNUMX-an B.Z.), û tenê di dawiya sedsala XNUMX-an de matematîkzanê Alman Richard Dedekind teoriya Eudoxus li gorî hewcedariyên hişk pêşkeftinek rast da. mantiqa matematîkî.

Girseya fîguran an îşkence

Ma hûn dikarin bêyî hejmar bijîn? Jiyana wê çi be jî... Em ê herin dikanê pêlavên bi darê bikirin, ku me berê dirêjiya lingê wan pîva. "Ez sêv dixwazim, ah, li vir e!" - Em ê li sûkê firoşkaran nîşan bidin. "Ji Modlin heta Nowy Dwur Mazowiecki çiqas dûr e"? "Pir nêzîk!"

Ji bo pîvandinê jimar têne bikaranîn. Bi alîkariya wan em gelek têgehên din jî tînin ziman. Mînakî, pîvana nexşeyê destnîşan dike ku qada welêt çiqas kêm bûye. Pîvanek du-bi-yek, an jî bi tenê 2, rastiya ku tiştek di mezinahiyê de duqat bûye diyar dike. Em bi matematîkî bibêjin: her homojenî bi jimarekê re têkildar e - pîvana wê.

Task. Me kopiyek xerografîk çêkir, wêneyê çend caran mezin kir. Dû re perçeya mezinbûyî dîsa b caran hat mezinkirin. Pîvana mezinkirina gelemperî çi ye? Bersiv: a × b bi b hatiye zêdekirin. Divê ev pîvan bên zêdekirin. Hejmara "minus yek", -1, bi yek rastiyek ku navend e, ango 180 dereceyan zivirî ye re têkildar e. Kîjan hejmar bi zivirîna 90 derece re têkildar e? Hejmarek wiha tune. Ew e, ew e… an bêtir, ew ê di demek nêzîk de be. Ma hûn ji îşkenceya exlaqî re amade ne? Wêrekî bigirin û rahêja çargoşe ya minus yek bigirin. Ez guhdarî dikim? Ma tu nikarî çi? Axir, min ji te re got mêrxas bin. Bikişîne derve! Heye, başe, bikişîne, bikişîne... Ez ê arîkariya xwe bikim... Li vir: -1 Niha ku me heye, em hewl bidin ku wê bikar bînin... Bê guman, niha em dikarin kokên hemî hejmarên neyînî derxînin, ji bo mînak.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Bêyî êşa derûnî ya ku ew tê de heye." Ev e ya ku Girolamo Cardano di sala 1539-an de nivîsand, hewl da ku zehmetiyên derûnî yên ku bi wan re têkildar e derbas bike - wekî ku zû jê re tê gotin - mîqdarên xeyalî. Wî li van...

...Task. 10ê bikin du beş, berhema wan 40 e. Tê bîra min ku ji beşa berê wî tiştekî wiha nivîsîbû: Bê guman ne mimkûn e. Lêbelê, em viya bikin: 10-an bikin du beşên wekhev, her yek bi 5-an. Wan zêde bikin - derket 25. Ji 25-ên ku derketine, heke hûn bixwazin, nuha 40 jê bikin û hûn -15-ê bistînin. Niha binere: √-15 ji 5-ê zêde û jêbirin, berhema 40-ê dide te. Ev hejmarên 5-√-15 û 5 + √-15 in. Verastkirina encamê ji hêla Cardano ve wiha hate kirin:

"Bêyî ku êşa dil tê de hebe, 5 + √-15 bi 5-√-15 zêde bikin. Em 25 - (-15) distînin, ku wekhev e 25 + 15. Ji ber vê yekê, hilber 40 e .... Bi rastî jî zehmet e."

Baş e, çend e: (1 + √-1) (1-√-1)? Werin em zêde bikin. Bînin bîra xwe ku √-1 × √-1 = -1. Ecêb. Naha karekî dijwartir: ji a + b√-1 heya ab√-1. Çi qewimî? Bê guman, bi vî rengî: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Di vê yekê de çi balkêş e? Mînak, rastiya ku em dikarin îfadeyên ku me "berê nedizanîn" biafirînin. Formula pirjimariya kurtkirî ya ji bo²-b² Tê bîra te formula ji bo²+b² ne bû, ji ber ku ew nedikarî bibe. Di warê hejmarên rast de, pirnomîal²+b² ew neçar e. Werin em "me" ya çargoşe ya "minus one" bi tîpa i destnîşan bikin.²= -1. Ew jimareyek yekem "nerast" e. Û ev e ya ku zivirîna 90 pileyî ya balafirê vedibêje. Çima? Di encamê da,²= -1, û bi hevkirina yek zivirîna 90-pileyî û zivirîna 180-pileyan zivirînek 45-pileyî dide. Çi cureyê zivirandinê tê vegotin? Diyar e ku zivirînek XNUMX pileyî. Wateya -i çi ye? Ew hinekî tevlihevtir e:

(-EZ)² = -i × (-i) = + i² = -1

Ji ber vê yekê -i zivirîneke 90 dereceyan jî diyar dike, tenê berevajiyê zivirandina i-yê. Kîjan çep û kîjan rast? Divê hûn randevûyekê bidin. Em texmîn dikin ku jimareya i zivirînek di rêyek ku matematîkzan erênî dihesibînin diyar dike: berevajiyê demjimêr. Hejmara -i zivirîna li aliyekê ku nîşanker diherikin vedibêje.

Lê gelo hejmarên wek i û -i hene? Are! Me tenê ew jiyan kirin. Ez guhdarî dikim? Ku ew tenê di serê me de hene? Baş e li hêviya çi? Hemû hejmarên din jî tenê di hişê me de hene. Divê em bibînin ka hejmara zarokên me yên nûbûyî sax dimînin. Zêdetir, gelo sêwirana mentiqî ye û gelo ew ê ji bo tiştek bikêr bin. Ji kerema xwe gotina min bigire ku her tişt bi rêkûpêk e û ku ev hejmarên nû bi rastî alîkar in. Ji jimarên wek 3+i, 5-7i, bi giştîtir: a+bi re jimareyên tevlihev tê gotin. Min nîşanî we da ku hûn çawa dikarin wan bi zivirandina balafirê bigirin. Ew dikarin bi awayên cûda bêne navnîş kirin: wekî xalên balafirê, wekî hin pirnomî, wekî celebek rêzikên hejmarî ... û her car ew yek in: hevkêşana x² +1=0 hêmanek tune... hocus pocus jixwe li wir e!!!! Em şad û şa bin!!!

Dawiya gerê

Ev gera me ya yekem a welatê hejmarên sexte bi dawî dike. Ji hejmarên din ên neerdî, ez ê wan jî bibêjim yên ku li pêş, û ne li paş, jimareyên wan bêsînor hene (ji wan re 10-adic tê gotin, ji bo me p-adîk girîngtir in, ku p jimareyek yekem e), mînak X. = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Ji kerema xwe em X bijmêrin². Bo? Ger em çargoşeya jimarekê li pey jimareke bêdawî ya reqeman hesab bikin? Were em jî wisa bikin. Em dizanin ku x² = X.

Werin em hejmareke din a weha bi hejmareke bêdawî ya reqeman li pêş ku hevkêşeyê têr dike bibînin. Nîşan: çargoşeya jimareke ku bi şeşê diqede jî bi şeşê diqede. Çargoşeya hejmara ku di 76-an de diqede jî bi 76-an diqede. Çargoşeya hejmara ku bi 376-an diqede jî bi 376-an diqede. 9376 li ser… Di heman demê de jimar hene ku ew çend piçûk in ku, pozîtîf bin, ji hejmareke din a erênî piçûktir dimînin. Ew qas piçûk in ku carinan bes e ku meriv wan çargoşe bike da ku sifir bibe. Hejmar hene ku şerta a × b = b × a têr nakin. Hejmarên bêdawî jî hene. Çend hejmarên xwezayî hene? Bêsînor gelek? Erê, lê çiqas? Çawa dikare ev wekî jimarek were diyar kirin? Bersiv: ji hejmarên bêdawî ya herî biçûk; ew bi herfa xweş tê nîşankirin: A û bi nîşana sifir A tê pêvekirin₀ , aleph-sifir.

Hejmarên ku em nizanin hene jî hene... an jî wek ku hûn dixwazin hûn dikarin bawer bikin an jî nebawer bikin. Û bi vî rengî dipeyivin: Ez hêvî dikim ku hûn hîn jî ji Hejmarên Unreal, Jijmarên Cureyên Fantasy hez dikin.