Rê û stûrên geometrîk
Di dema nivîsandina vê gotarê de, straneke Jan Pietrzak ya pir kevn hat bîra min, ku wî beriya çalakiya xwe ya satirîk di kabareya Pod Egidą de, ku li Komara Gel a Polonyayê wekî valahiya ewlehiyê tê naskirin, got; mirov dikare bi rastî bi paradoksên pergalê bikene. Nivîskar di vê stranê de beşdariya siyasî ya sosyalîst pêşniyar kir, bi kesên ku dixwazin apolîtîk bin henek bike û radyoya rojnameyê qut bike. "Çêtir e ku em vegerin xwendina dibistanê," wê hingê Petshak-salî XNUMX-salî bi îronîkî stran got.
Ez vegerim dibistanê dixwînim. Ez pirtûka Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati" ji nû ve (ne cara yekem) dixwînim. Ji bo çend xwendevanan, peyv bixwe tiştekî dibêje. Ev navê keça matematîkzanê Hindu yê navdar e ku bi navê Bhaskara (1114-1185), bi navê Akaria, an jî seydayê ku pirtûka xwe ya li ser cebrê bi wî navî kiriye. Lilavati paşê bi xwe bû matematîkzan û fîlozofekî navdar. Li gorî çavkaniyên din, ew bi xwe pirtûk nivîsandiye.
Szczepan Yelensky heman sernav daye pirtûka xwe ya li ser matematîkê (çapa yekem, 1926). Dibe ku dijwar be ku meriv vê pirtûkê wekî xebatek matematîkî bi nav bike - ew bêtir ji komek puzzles bû, û bi gelemperî ji çavkaniyên fransî ji nû ve hatî nivîsandin (mafên kopî di wateya nûjen de tune bûn). Di her rewşê de, bi salan ew tenê pirtûka polonî ya populer a li ser matematîkê bû - paşê pirtûka duyemîn a Jelensky, Şîrînên Pythagoras, li wê zêde bû. Ji ber vê yekê ciwanên ku bi matematîkê re eleqedar in (ku bi rastî ya ku ez carekê bûm) tiştek tune ku ji wan hilbijêrin ...
ji hêleke din ve diviyabû "Lilavatî" hema ji dil bihata zanîn... Ax, carinan hebûn... Avantaja wan a herî mezin ew bû ku ez wê demê xort bûm. Îro, ji nihêrîna matematîkzanek xwenda, ez bi rengek bi tevahî cûda li Lilavati dinêrim - dibe ku mîna hilkişînek li ser bendikên riya Shpiglasova Pshelench. Ne yek û ne jî ya din xemla xwe winda nakin... Bi şêwaza xwe ya taybetmend, Şçepan Yelenskî, ku di jiyana xwe ya kesane de ramanên bi navê neteweyî dipejirîne, di pêşgotinê de dinivîse:
Bêyî ku ez dest li danasîna taybetiyên neteweyî bikim, ez ê bibêjim ku piştî not û salan jî, gotinên Yelensky yên derbarê matematîkê de girîngiya xwe winda nekirine. Matematîk we fêrî ramanê dike. Ew rastiyek e. Ma em dikarin we hîn bikin ku hûn cûda, sadetir û xweşiktir bifikirin? Dibe ku bibe. Tenê... em hîn jî nikarin. Ez ji xwendekarên xwe yên ku naxwazin matematîkê bikin re diyar dikim ku ev jî ceribandina hişmendiya wan e. Ger hûn nikaribin teoriya matematîkê ya bi rastî hêsan fêr bibin, wê hingê… dibe ku şiyanên we yên derûnî ji ya ku em herduyan jî dixwazin xirabtir bin…?
Nîşanên di qûmê de
Û li vir çîroka yekem di "Lylavati" de ye - çîrokek ku ji hêla fîlozofê fransî Joseph de Maistre (1753-1821) ve hatî vegotin.
Deryavanek ji keştiyek hilweşiyayî ji aliyê pêlan ve hat avêtin ser qeraxeke vala, ku wî ew der bê mirov dihesiband. Ji nişka ve, di nav qûma qeraxê de, wî şopek fîgurek geometrîkî ku li ber yekî hatî kişandin dît. Wê gavê wî fêm kir ku girav ne çol e!
Bi gotina de Mestri, Yelensky dinivîse: jimareya geometrîkew ê ji bo bêbext, keştiya binavbûyî, tesaduf bibûya gotineke lal, lê wî bi çavekî nîsbet û hejmar nîşanî wî da û ev yek mizgîniya mirovekî ronakbîr kir. Ji bo dîrokê ewqas.
Bala xwe bidinê ku deryavanek dê bibe sedema heman reaksiyonê, wek nimûne, bi xêzkirina tîpa K, ... û her şopên din ên hebûna kesek. Li vir geometrî tê îdealîzekirin.
Lêbelê, astronom Camille Flammarion (1847-1925) pêşniyar kir ku şaristanî ji dûr ve bi karanîna geometrî silavê didin hev. Wî di vê yekê de tekane hewldana rast û gengaz a ragihandinê dît. Werin em sêgoşeyên Pythagorean nîşanî Marsiyanên weha bidin... ew ê bi Thales bersiva me bidin, em ê bi şêwazên Vieta bersiva wan bidin, dora wan dê bikeve sêgoşeyekê, ji ber vê yekê hevaltî dest pê kir...
Nivîskarên wekî Jules Verne û Stanislav Lem li vê ramanê vegeriyan. Û di sala 1972-an de, pêlên bi qalibên geometrîk (û ne tenê) li ser sondaya Pioneer, ku hîn jî berfirehên fezayê derbas dike, niha hema hema 140 yekîneyên astronomîkî ji me re hatine danîn (1 I dûrahiya navîn a Dinyayê ji Dinyayê ye) . Roj, ango, nêzîkî 149 mîlyon km). Pîrek, beşek ji hêla stêrnas Frank Drake, afirînerê qaîdeya nakokî ya li ser hejmara şaristaniyên derveyî erdê, hate sêwirandin.
Geometrî ecêb e. Em hemû nêrîna giştî ya li ser koka vê zanistê dizanin. Me (em mirov) ji bo mebestên herî bikêrhatî dest bi pîvandina axê (û paşê jî axê) kiriye. Diyarkirina mesafeyan, xêzkirina xêzên rast, nîşankirina goşeyên rast û hesabkirina cildan hêdî hêdî dibû hewcetiyek. Ji ber vê yekê hemû tişt geometrî ("Pîvana erdê"), ji ber vê yekê hemî matematîkî ...
Lêbelê, ji bo demekê ev wêneya zelal a dîroka zanistê me ewr kir. Ji ber ku ger matematîk tenê ji bo mebestên xebitandinê hewce bûya, em ê mijûl nebûna îsbatkirina teoremên hêsan. "Hûn dibînin ku divê ev bi tevahî rast be," meriv ê bibêje ku piştî kontrolkirina ku di çend sêgoşeyên rastgoşe de berhevoka çargoşeya hîpotenûzê bi çargoşeya hîpotenûzê re ye. Çima wisa formalîzm?
Plum pie divê tamxweş be, bernameya kompîturê divê bixebite, makîne divê bixebite. Ger min sîh carî kapasîteya bermîlê bijmêrim û her tişt bi rêk û pêk be, wê demê çima wekî din?
Di vê navberê de, ji Yewnaniyên kevnar re hat ku hin delîlên fermî hewce ne ku werin dîtin.
Ji ber vê yekê, matematîk bi Thales (625-547 BZ) dest pê dike. Tê texmîn kirin ku ew Miletus bû ku dest pê kir ku çima çima. Ji kesên jîr re tiştekî dîtine, bi tiştekî îqna bûne têrê nake. Wan hewcedarî bi delîlan, rêzek mentiqî ya argumanan ji texmînê heya tezê dît.
Wan jî bêtir dixwest. Dibe ku ew Thales bû ku yekemcar hewl da ku diyardeyên fizîkî bi rengek xwezayî, bêyî destwerdana Xwedê rave bike. Felsefeya Ewropî bi felsefeya xwezayê dest pê kir - bi ya ku jixwe li pişt fizîkê ye (ji ber vê yekê navê wî: metafizîk). Lê hîmên ontolojî û felsefeya xwezayî ya ewropî ji aliyê Pythagorean ve hatiye danîn (Pythagoras, derdora 580-z. 500 b.z.).
Wî dibistana xwe li Crotone li başûrê nîvgirava Apennine ava kir - îro em jê re dibêjin mezheb. Zanist (bi maneya niha ya peyvê), mîstîsîzm, dîn û fantastîk bi hev ve girêdayî ne. Thomas Mann di romana Doctor Faustus de dersên matematîkê yên li salona werzîşê ya almanî pir xweşik pêşkêş kir. Ji hêla Maria Kuretskaya û Witold Virpsha ve hatî wergerandin, ev parçe wiha dibêje:
Di pirtûka balkêş a Charles van Doren a bi navê “Dîroka Zanînê ji Berbanga Dîrokê heta Roja îroyîn” de, min nêrînek pir balkêş dît. Di yek ji beşan de, nivîskar girîngiya dibistana Pythagorean vedibêje. Sernavê beşê pir bala min kişand. Ew dixwîne: "Dahênana Mathematics: The Pythagoreans".
Em gelek caran nîqaş dikin ka teoriyên matematîkî têne keşfkirin (mînak welatên nenas) an îcad kirin (mînak makîneyên ku berê tunebûn). Hin matematîkzanên afirîner xwe wekî lêkolîner, hinên din wekî dahêner an sêwiraner, kêm caran dijber dibînin.
Lê nivîskarê vê pirtûkê bi giştî li ser dahênana matematîkê dinivîse.
Ji zêdegaviyê heya xapandinê
Piştî vê beşa destpêkê ya dirêj, ez ê herim ser destpêkê. geometrîji bo rave bike ku çawa pêbaweriyek zêde li ser geometriyê dikare zanyarek bixapîne. Johannes Kepler di fîzîk û astronomiyê de wekî keşfê sê zagonên tevgera bedenên ezmanî tê naskirin. Yekem, her gerstêrka di pergala rojê de li dora rojê bi rêgezek elîptîkî digere, ku yek ji wan kel û pelên wê roj e. Ya duyemîn jî, di navberên rêkûpêk de tîrêjê sereke yê gerstêrkê, ku ji Rojê hatî kişandin, zeviyên wekhev dikişîne. Ya sêyem, rêjeya çargoşeya serdema şoreşa gerstêrkek li dora Rojê bi kuba ya nîv-teşeya gerstêrka wê (ango dûrbûna navînî ji Rojê) ji bo hemî gerstêrkên pergala rojê sabît e.
Dibe ku ev zagona sêyemîn bû - ji bo sazkirina wê gelek dane û hesab hewce bû, ku Kepler hişt ku lêgerîna nimûneyên di tevger û pozîsyona gerstêrkan de bidomîne. Dîroka "keşfa" wî ya nû pir hînker e. Ji kevnariyê ve, me ne tenê pirhedra birêkûpêk, lê di heman demê de argûmanên ku destnîşan dikin ku tenê pênc ji wan li fezayê hene heyranê xwe kiriye. Polyedronek sê-alî bi rêkûpêk tê gotin, heke rûyên wê pirgoşeyên birêkûpêk wek hev bin û her deverek xwedî heman hejmara kenarê be. Werhasilî kelam, divê her quncikek pirhedronek birêkûpêk "eynî xuya bike". Polyhedronê herî navdar kube ye. Her kesî çîçeka asayî dîtiye.
Tetrahedrona birêkûpêk kêm tê zanîn, û di dibistanê de jê re pîramîda sêgoşeya birêkûpêk tê gotin. Ew mîna pîramîdek xuya dike. Sê polyhedra birêkûpêk ên mayî kêm kêm têne zanîn. Dema ku em navendên keviyên kubekê bi hev ve girêdidin octahedron çêdibe. Dodekahedron û îkosahedron jixwe mîna topan xuya dikin. Ji çermê nerm têne çêkirin, ew ê rehet bin ku dikolin. Aqûbeta ku ji bilî pênc cewherên Platonî pê ve pirçengên birêkûpêk tune ne pir baş e. Pêşî, em fêhm dikin ku ger laş bi rêkûpêk be, wê hingê divê heman hejmar (bila q) ji pirgoşeyên birêkûpêk ên yekbûyî li her ristekê li hev bicivin, bila ev bibin p-goşe. Naha divê em bînin bîra xwe ku goşe di pirgoşeya rêkûpêk de çi ye. Ger kesek ji dibistanê nayê bîra we, em ji we re tînin bîra we ka meriv çawa nimûneya rast bibîne. Me rêwîtiyek li dora quncikê kir. Li her ristekê em li heman goşeyê dizivirin a. Dema ku em li dora pirgoşeyê digerin û vedigerin nuqteya destpêkê, me bi vî rengî zivirandin û bi tevahî em 360 derece zivirîn.
Lê α 180 derece temamkerê goşeya ku em dixwazin hesab bikin e û ji ber vê yekê ye
Me formula goşeyê (matematîkzanek dê bêje: pîvanên goşeyê) ya pirgoşeya rêkûpêk dît. Ka em kontrol bikin: di sêgoşeya p = 3 de, a tune
Welî evê. Dema ku p = 4 (çargoşe), hingê
derece jî baş e.
Em ji bo pentagonek çi distînin? Îcar çi diqewime dema ku q polygon hebin, her p xwedî heman goşeyan e
derece li yek verteksê dadikeve? Ger ew li ser balafirê bûya, wê hingê goşeyek çêdibe
derece û nikare ji 360 pileyî zêdetir be - ji ber ku wê hingê pirgoşe li hev dikevin.
Lêbelê, ji ber ku ev pirgoşe li fezayê digihêjin hev, divê goşe ji goşeya tije kêmtir be.
Û li vir newekheviya ku ew hemî jê tê:
Bi 180-ê par bike, her du beşan bi p zêde bike, rêz bike (p-2) (q-2) < 4. Li dû çi ye? Em hay ji xwe hebin ku p û q divê jimarên xwezayî bin û p > 2 (çima? Û p çi ye?) û her weha q > 2. Gelek rê nînin ku em berhema du hejmarên xwezayî ji 4-ê kêmtir bikin. Dê wan hemûyan di tabloya 1 de rêz bike.
Ez risman naweşînim, her kes dikare van fîguran li ser Înternetê bibîne... Li Înternetê... Ez devjêberdanek lîrîk red nakim - belkî ji xwendevanên ciwan re balkêş be. Di sala 1970 de ez di semînerekê de axivîm. Mijar dijwar bû. Wextê min kêm bû ku ez amade bikim, ez êvaran rûniştim. Gotara sereke tenê di cîh de hate xwendin. Cih xweş bû, bi atmosferek xebatê, baş e, ew di heftê de girtî bû. Dûv re bûkê (niha jina min) bi xwe pêşniyar kir ku tevahiya gotarê ji min re ji nû ve binivîsîne: bi dehan rûpelên çapkirî. Min ew kopî kir (na, ne bi pênûsê, pênûsên me jî hebûn), ders serkeftî bû. Îro min hewl da ku vê weşana ku jixwe kevn e bibînim. Tenê navê nivîskar tê bîra min... Lêgerînên li ser Înternetê demeke dirêj dirêj kirin... tam panzdeh deqe. Ez bi ken û piçekî poşmaniyeke nerewa li ser wê difikirim.
Em vegerin ser Keplera û geometrî. Xuya ye, Platon hebûna forma pêncemîn ya birêkûpêk pêşbîn kir, ji ber ku wî tiştek yekgirtî tune bû, ku tevahiya cîhanê vedihewîne. Dibe ku ji ber vê yekê wî talîmat da xwendekarek (Theajtet) ku li wê bigere. Weke ku bû, wusa bû, li ser wê bingehê ku dodeka wê hatîya kifşkirin. Em ji vê helwesta Platon re dibêjin panteîzm. Hemî zanyar, heta Newton, kêm û zêde li ber wê ketin. Ji sedsala hijdehan ve ya pir maqûl, bandora wê pir kêm bûye, her çend divê em ji vê yekê şerm nekin ku em hemî bi rengekî an yekî din teslîmî wê dibin.
Di konsepta Kepler ya avakirina pergala rojê de, her tişt rast bû, daneyên ceribandinê bi teoriyê re hevûdu bûn, teorî ji hêla mantiqî ve hevgirtî bû, pir xweşik ... lê bi tevahî derew bû. Di dema wî de, tenê şeş gerstêrk dihatin zanîn: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter û Saturn. Çima tenê şeş gerstêrk hene? Kepler pirsî. Û kîjan rêkûpêk dûrbûna wan ji Rojê diyar dike? Wî texmîn kir ku her tişt girêdayî ye, ew geometrî û kozmogonî ji nêz ve bi hev ve girêdayî ne. Ji nivîsarên Yewnaniyên kevnar, wî dizanibû ku tenê pênc pirhedra bi rêkûpêk hene. Wî dît ku di navbera şeş geryan de pênc valahî hene. Ji ber vê yekê dibe ku her yek ji van cîhên belaş bi hin pirhedronên birêkûpêk re têkildar be?
Piştî çend salan çavdêrî û xebata teorîkî, wî teoriya jêrîn afirand, bi alîkariya wê ew pîvanên rêwiyan bi awayek rast hesab kir, ku ew di pirtûka "Mysterium Cosmographicum" de, ku di 1596-an de hatî çap kirin, pêşkêş kir: Zeviyek mezin bifikirin. qebareya wê qebareya gerra Merkurê di tevgera wê ya salane ya li dora rojê de ye. Paşê bifikire ku li ser vê zemînê octahedronek birêkûpêk heye, li ser wê deverek, li ser wê îkozahedronek, li ser wê dîsa kulmek, li ser wê dodekahedronek, li ser wê qonaxek din, li ser wê çarderonek, dûv re dîsa qapek, kubek heye. û, di dawiyê de, li ser vê kubê top tê vegotin.
Kepler destnîşan kir ku pîvazên van gerstêrkên li pey hev qebareya gerstêrkên din in: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter û Saturn. Teorî pir rast xuya dikir. Mixabin, ev bi daneyên ceribandinê re hevgirtî bû. Û çi delîlek çêtir a rastbûna teoriyek matematîkî ji hevahengiya wê bi daneyên ezmûnî an daneyên çavdêriyê re, nemaze "ji bihuştê hatî girtin"? Ez van hesaban di tabloya 2. de bi kurtî vedibêjim. Îcar Kepler çi kir? Min hewl da û hewl da heta ku ew bi ser ket, ango gava ku veavakirin (fermana qadan) û hesabên encam bi daneyên çavdêriyê re hevûdu bûn. Li vir hejmar û hesabên Kepler ên nûjen hene:
Meriv dikare xwe bitewîne heyrana teoriyê û bawer bike ku pîvandinên li ezman ne rast in, ne hesabên ku di bêdengiya atolyeyê de têne kirin. Mixabin, îro em dizanin ku bi kêmanî neh gerstêrk hene û ku hemî tesadûfên encaman tenê tesaduf in. A heyf. Ew pir xweşik bû ...
